La derivada de una Funcion en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.
En terminología clásica, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad 
cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad 
.
En matemáticas coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto P de la función por el resultado de la división representada por la relación 
, que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto P de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triangulo rectangulo formado en la gráfica con vertice en el punto P, por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.
HISTORIA
La historia y la epistemología de la función derivada como objeto del cálculo diferencial dan cuenta de la complejidad y de los vaivenes que en veinte siglos ha sufrido ésta, hasta adquirir el estatus de función derivada.
El trabajo de cientos de seres humanos dedicados a su estudio, en distintas épocas y culturas, han hecho aportes que han permitido los cambios y el refinamiento de las ideas matemáticas de la función derivada para convertirla en un objeto (puro, aplicado y a enseñar), muy potente.
Es tal la importancia de este objeto matemático que permite resolver
problemas de las matemáticas, de las ciencias naturales, sociales y humanas. El aspecto central de este trabajo es presentar algunas consideraciones abordando la complejidad de la función derivada como objeto a enseñar y como objeto enseñado, desde la epistemología estándar y echar una mirada al mismo objeto desde otras epistemologías
Desde 1823, cuando Cauchy definió el objeto función derivada, se han propuesto algunos trabajos respecto a la misma, sin embargo la mayoría de ellos retoma la definición de Cauchy para su elaboración; es el caso de los trabajos propuestos sobre la función derivada por Caratheodory (teoría de funciones de variable compleja, 1954), Fréchet (diferencial total, 1963) y Gâteaux (derivada direccional, 1925).
Alrededor de estos trabajos se han hecho propuestas sobre la didáctica de la función derivada, pero centradas en el pensamiento avanzado del cálculo, aspecto que no beneficia a los estudiantes de: último año del colegio, de los primeros semestres de ingeniería o de otras carreras que estudian el cálculo; entre otras razones por la complejidad del
objeto, por el nivel con el que pasan del colegio a la universidad en cuanto a las ideas previas de función.
Estas propuestas que se han presentado están en el análisis estándar, porque corresponden a la epistemología de Cauchy, en la que el límite como objeto matemático es el que permite estudiar a la función derivada y más aún son muy novedosas y ricas en recursos y estrategias en el nivel de pensamiento matemático avanzado, situación que no favorece el proceso de aprendizaje de un estudiante que apenas está incursionando en el cálculo.
De otra parte se encuentran las que se han hecho en el análisis estándar, pero con otra epistemología, como la propuesta hecha por Cantoral (1995), al retomar el trabajo de Lagrange sobre series, evitando así el paso al límite para abordar la función derivada. Esta propuesta de Cantoral está en un nivel de pensamiento básico del cálculo y eso permite que sea una alternativa en el proceso de enseñanza aprendizaje de la función derivada con estudiantes de los primeros semestres.
A partir del rigor matemático alcanzado en el s. XVIII, la intuición matemática deja de considerarse importante e inclusive se desprecia en el ambiente matemático del objeto puro, pero la Didáctica de la Matemática debe dar cuenta del aspecto cognitivo, social y cultural en el que se desenvuelve el objeto y en ese sentido el razonamiento intuitivo es fundamental.
La intuición como razonamiento matemático es muy importante en el análisis no estándar, en éste se encuentra el conjunto de los hiperreales, los cuales contienen a los números infinitésimos e infinitos que no tienen cabida en los reales (análisis estándar), además en este nuevo conjunto se cumplen las propiedades de los números reales y su estructura es más intuitiva que rigurosa, se disminuye la pesada formulación matemática de la función derivada, por ejemplo la siguiente expresión permite mostrar las diferencias entre el análisis estándar y el no estándar, para determinar la continuidad 3 de una función en un punto con abscisa x
CLASES DE DERIVADAS
En matemática, una derivada parcial de una funcion de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras, constantes. Las derivadas parciales son útiles en calculo vectorial y geometria diferencial.
Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. entonces fx representa la razón de cambio de z con respecto a x, cuando y permanece fija. De manera semejante, fy representa la razón de cambio de z con respecto a y, cuando x permanece fija.
Derivadas direccionales
Definimos la derivada direccional de un campo escalar 
en un punto 
según una dirección marcada por el vector unitario 
, de la siguiente manera:
- Consideramos el desplazamiento pequeño desde
en la dirección marcada por 
- Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final
- La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a cero.
En un campo bidimensional, que se puede representar mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado geométrico.
En tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma
n-ésima derivada
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x).
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
DERIVACION EN MATEMATICAS
LA derivada es uno de los conceptos mas importantes de las matematicas.
tecnicamente la derivada expresa el incremento de una magnitud con respecto a otro de ahi entonces que estariamos hablando de variaciones en todo caso.
entonces.. en matematica a derivada no es mas que la pendiente de la recta tangente a una funcion en un punto.
como tambien podria ser la tangente del angulo de inclinacion con respecto al Eje x de la recta que es tangente a la funcion en el punto que se esta analizando.
Fisicamente cuando analizamos la variacion de una magnitud en el tiempo por ejemplo..
si analizamos como varia el desplazamiento de una funcion con el tiempo en un instante determinado estamos obteniendo entonces la velocidad.
si analizamos entonces el cambio de la velocidad estamos buscando la aceleracion. por solo citarte algunos ejemplos
Conclusiones
Se evidencia desde la historia de las matemáticas que fueron muchas las personas
que a través de distintas épocas ayudaron con sus trabajos a construir lo que hoy
conocemos como cálculo diferencial e integral.
El rigor de las matemáticas como lo conocemos hoy es producto del refinamiento y
avance de las matemáticas a través de los trabajos de cientos de matemáticos en
distintas épocas.
El proceso de desarrollo de la función derivada es complejo, demorado y tortuoso.
La historia da cuenta que su desarrollo no fue lineal, ni producto de la genialidad de
una o dos personas.
En el proceso histórico de la función derivada subyacen por lo menos tres
epistemologías: la de Lagrange (1736-1813), la de Cauchy (1789-1957) y la de
Robinson (1918-1974).
La Didáctica de la Matemática reporta trabajos e investigaciones en su mayor parte
en la epistemología de Cauchy, siendo la más rigurosa y difícil de aprender por
parte de estudiantes de último año del colegio o primeros semestres de
universidad.
El lenguaje de la función derivada cambia de acuerdo con la epistemología usada.
